Baccalauréat 2021 - Mathématiques Spécialité

Exercice 2

Question 1.a

Par croissances comparées :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$

Question 1.b

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \text{ et } \lim_{x \to 0^+} e^x = 1$$

Donc :
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$

L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe $C_f$.

Question 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s'annule pas.

Pour tout réel $x > 0$, on a :
$$f'(x) = \frac{e^x \times x - e^x \times 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

Question 3

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x - 1$.

• $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
• $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

On obtient donc le tableau de variations suivant :

La fonction $f$ admet un minimum en $x = 1$ et ce minimum vaut $f(1) = e$.

Question 4

• Pour tout réel $x > 0$, on a donc $f(x) \geqslant e$.

Ainsi si $m < e$, alors l'équation $f(x) = m$ ne possède pas de solution.

• Soit $m > e$.

La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement décroissante sur l'intervalle $]0; 1]$.

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \text{ et } f(1) = e$$

Or $m \in ]e; +\infty[$

D'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x) = m$ possède une unique solution sur l'intervalle $]0; 1]$.

La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement croissante sur l'intervalle $]1; +\infty[$.

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \text{ et } f(1) = e$$

Or $m \in ]e; +\infty[$

D'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x) = m$ possède une unique solution sur l'intervalle $]1; +\infty[$.

Par conséquent, l'équation $f(x) = m$ possède exactement deux solutions sur $]0; +\infty[$.

• Si $m = e$, la fonction $f$ atteint une seule fois son minimum en 1 et celui-ci vaut $e$.

L'équation $f(x) = m$ possède alors une unique solution sur $]0; +\infty[$.

Question 5.a

Le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est $-1$.

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si, et seulement si, leur coefficients directeurs sont égaux.

Le coefficient directeur d'une tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ est $f'(a)$.

Ainsi $a$ est solution, dans $]0; +\infty[$, de l'équation :
$$f'(a) = -1$$
$$\Leftrightarrow \frac{e^a(a-1)}{a^2} = -1$$
$$\Leftrightarrow e^a(a-1) = -a^2$$
$$\Leftrightarrow e^a(a-1) + a^2 = 0$$

Question 5.b

La fonction $g$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ d'après l'énoncé.

Pour tout réel $x \geqslant 0$, on a :
$$g'(x) = e^x(x-1) + e^x + 2x$$
$$= xe^x + 2x$$
$$= x(e^x + 2)$$

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $e^x + 2 > 0$ sur $\mathbb{R}$.

De plus sur $[0; +\infty[$, on a $x \geqslant 0$ et ne s'annule qu'en 0.

Par conséquent, $g'(x) \geqslant 0$ et $g'(x)$ ne s'annule qu'en 0.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Calculs des limites :
$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} x - 1 = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$

Donc :
$$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$

Question 5.c

La fonction $g$ est continue (car dérivable) strictement croissante sur $[0; +\infty[$.

$$g(0) = -1 < 0 \text{ et } \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$

Or $0 \in ]-1; +\infty[$

D'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0; +\infty[$.

De plus, $g(0) \neq 0$.

Il existe par conséquent un unique point $A$ en lequel la tangente à $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.

Exercice 3

Question 1

Le point $K$ appartient à $(SD)$ donc $(DK)$ et $(SD)$ sont coplanaires.

$S$ est le milieu de $[AB]$ donc $[SB]$ est inclus dans $(AB)$, donc $(ABCD)$ et $(AS)$ sont coplanaires.

D'après le théorème des milieux (ou de Thalès), la droite $(LM)$ est parallèle à la droite $(BC)$, elle-même parallèle à la droite $(AD)$. Par conséquent, $(LM)$ et $(AD)$ sont coplanaires.

Réponse : c

Question 2

$K$ est le milieu de $[SD]$. Ses coordonnées sont donc :
$$K\left(0; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$$

$L$ est le milieu de $[SC]$. Ses coordonnées sont donc :
$$L\left(\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}\right)$$

Ainsi $N$ milieu de $[KL]$ a pour coordonnées :
$$N\left(\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right)$$

Réponse : b

Question 3

Les coordonnées du vecteur $\vec{AS}$ sont :
$$\vec{AS} = \begin{pmatrix} 0-(-1) \\ 0-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Réponse : b

Question 4

Un vecteur directeur de la droite $(AS)$ est $\vec{AS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

On exclut donc les propositions a, e et d, dont un vecteur directeur a pour coordonnées :
$$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

En prenant $t = 0$ dans les propositions c, on retrouve les coordonnées du point $S$ et en prenant $t = -1$, on retrouve les coordonnées du point $A$.

Réponse : c

Question 5

Si on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées des points $S$, $C$ et $B$, on constate que seule l'équation :
$$x + y + z - 1 = 0$$

convient.

Réponse : b

Exercice A

Question 1

On a :
$$u_1 = \frac{3}{4} \times 1 + 0 + 1 = \frac{7}{4}$$

$$u_2 = \frac{3}{4} \times \frac{7}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{21}{16} + \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{41}{16}$$

Question 2.a

On a pu écrire : $3/4 \times B2 + 1/4 + A2 + 1$

Question 2.b

Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit strictement croissante.

Question 3.a - Initialisation

Si $n = 0$ alors $u_0 = 1$ et $0 < u_0 \leqslant 0 + 1$

La propriété est donc vraie au rang 0.

Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose la propriété vraie au rang $n$ :

$$n < u_n \leqslant n + 1$$

Montrons qu'elle est vraie au rang $n + 1$ :

$$n < u_n \leqslant n + 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{3}{4}n < \frac{3}{4}u_n \leqslant \frac{3}{4}n + \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{3}{4}n + \frac{1}{4}n < \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n \leqslant \frac{3}{4}n + \frac{1}{4}n + \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow n < \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + \frac{3}{4} \leqslant n + \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow n + 1 < \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + \frac{3}{4} + 1 \leqslant n + 1 + \frac{3}{4}$$

Or $n + 2 > n + 1 + \frac{3}{4}$

Ainsi $n + 1 < u_{n+1} \leqslant n + 2$

La propriété est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $n < u_n \leqslant n + 1$.

$$\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \text{ et, pour tout } n \in \mathbb{N}, \text{ on a } u_n > n$$

D'après le théorème de comparaison :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Question 3.b

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
$$u_{n+1} - u_n = \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1 - u_n$$
$$= -\frac{1}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1$$
$$= \frac{1}{4}(n - u_n) + 1$$
$$\geqslant \frac{1}{4}(n - (n+1)) + 1$$
$$\geqslant -\frac{1}{4} + 1$$
$$\geqslant \frac{3}{4} > 0$$

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

Question 3.c

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$ donc $1 \leqslant \frac{u_n}{n} \leqslant 1 + \frac{1}{n}$.

Or :
$$\lim_{n \to +\infty} 1 + \frac{1}{n} = 1$$

D'après le théorème des gendarmes :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1$$

Question 4.a

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
$$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1)$$
$$= \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1 - n - 1$$
$$= \frac{3}{4}u_n - \frac{3}{4}n$$
$$= \frac{3}{4}(u_n - n)$$
$$= \frac{3}{4}v_n$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\frac{3}{4}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 1$.

Question 4.b

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a donc :
$$v_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$$

Ainsi :
$$u_n = v_n + n = \left(\frac{3}{4}\right)^n + n$$

Exercice B

Question 1.a

Par croissances comparées :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2} = 0 \text{ et par croissances comparées } \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$

Ainsi :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

Question 2

Pour tout réel $x > 0$, on a :
$$f(x) = 1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}$$

Question 3.a

Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2 - 4x + 3$.

$$\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$$

Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
$$x_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \text{ et } x_2 = \frac{4+2}{2} = 3$$

Le coefficient principal est $a = 1 > 0$.

On obtient donc le tableau de variations suivant :

Calcul des extremums :
$$f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$$
$$f(3) = 1 - \frac{4}{3} + \frac{3}{9} = 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = 0$$

Question 3.b

On a $6 - 4\ln(3) \approx 1,61$ et $\frac{5}{3} \approx 1,67$.

Ainsi, par lecture du tableau de variations, l'équation $f(x) = \frac{5}{3}$ possède exactement 3 solutions (une dans chaque intervalle du tableau).

Question 4

La fonction $f'$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0; +\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas.

On reprend l'expression de $f'(x) = 1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}$.

Par conséquent, pour tout réel $x > 0$, on a :
$$f''(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{6}{x^3} = \frac{4x - 6}{x^3}$$

Sur $]0; +\infty[$, on a $x^3 > 0$ donc $f''(x)$ est du signe de $4x - 6$ sur $]0; +\infty[$.

$$4x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$$
$$4x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$$

La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0; \frac{3}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\frac{3}{2}; +\infty\right[$.

La fonction $f$ ne change qu'une seule fois de convexité sur $]0; +\infty[$. La courbe $C$ possède donc un unique point d'inflexion d'abscisse $\frac{3}{2}$ et d'ordonnées :
$$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} - 4\ln\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} - 4\ln(3) + 4\ln(2)$$