Définition 1 :

On suppose qu'il existe un réel \(a\) tel que \([a; +\infty[ \subset D\).

• On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \geq x_0\), alors \(f(x) \geq A\). On notera \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]

• On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \geq x_0\), alors \(f(x) \leq A\). On notera \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\]

Remarque :

Cette définition est très similaire à celle rencontrée pour les limites de suites : pour n'importe quel réel \(A\), aussi grand soit-il, à partir d'une certaine valeur du réel \(x\), \(f(x)\) est plus grand que ce réel \(A\).

Exemple 1 : On représente ici la courbe d'une fonction f dans un repère.

Pour n'importe quel réel \(A\), aussi grand que l'on veut, on peut trouver un \(x_0\) à partir duquel la courbe est toujours au-dessus de la droite d'équation \(y = A\).

On a \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

Définition 2 :

On suppose qu'il existe un réel \(a\) tel que \(]-\infty; a] \subset D\).

• On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(-\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \leq x_0\), alors \(f(x) \geq A\). On notera \[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]

• On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(-\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \leq x_0\), alors \(f(x) \leq A\). On notera \[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]

Exemple 2 : On représente ici une fonction f dans un repère.

Pour n'importe quel \(A\), aussi grand que l'on veut, on peut trouver un \(x_0\) en-dessous duquel la courbe est toujours au-dessus de la droite d'équation \(y = A\).

On a \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\)

Remarque importante :

Il s'agit de la principale différence avec les suites : pour les suites, l'indice \(n\) ne pouvait que tendre vers \(+\infty\). Dans le cas des fonctions, le réel \(x\) peut aller vers \(+\infty\) mais aussi vers \(-\infty\) et d'autres valeurs réelles entre les deux, comme nous le verrons plus tard dans ce chapitre...

Définition 3 :

On suppose qu'il existe un réel \(a\) tel que \([a; +\infty[ \subset D\). Soit \(\ell \in \mathbb{R}\).

• On dit que \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(+\infty\) (ou que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\)) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un réel \(x_0\) tel que, si \(x \geq x_0\), alors \(f(x) \in ]\ell - \varepsilon; \ell + \varepsilon[\).

Si une telle limite existe, elle est unique. On note alors \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\]

Exemple 3 : Une fonction \(f\) est représentée ci-dessous. Pour n'importe quel \(\varepsilon > 0\), on peut trouver un réel \(x_0\) à partir duquel on a toujours \(f(x) \in ]2 - \varepsilon; 2 + \varepsilon[\). On a \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\)

Définition 4 :

On se place dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) orthonormé.

• Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\), on dit que la droite d'équation \(y = \ell\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\)

• Si \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell\), on dit que la droite d'équation \(y = \ell\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(-\infty\)

Exemple 4 : Dans le cas précédent, la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

Les mêmes définitions s'étendent naturellement pour les limites en \(-\infty\).

• Exemple 5 : On a représenté la courbe d'une fonction \(f\) dans un repère.


Il semblerait que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1\)

La droite d'équation \(y = 2\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

La droite d'équation \(y = -1\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(-\infty\).

Propriété 1 : Soit \(n\) un entier naturel non nul.

\(\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\)          \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0\)


Si \(n\) est pair :

\(\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\)          \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0^+\)


Si \(n\) est impair :

\(\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\)          \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0\)


Enfin :

\(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)      \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)      \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)

Remarque :

Il est important de visualiser les courbes représentatives de ces fonctions. Celles-ci vous permettront de bien comprendre ces limites usuelles en lien.

Définition 6 :

Soit \(a \in D\) et un réel \(\ell\).

On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un réel \(\delta > 0\) tel que, si \(x \in ]a - \delta; a + \delta[\), alors \(f(x) \in ]\ell - \varepsilon; \ell + \varepsilon[\).


Autrement dit, tout intervalle ouvert centré en \(\ell\) contient toutes les valeurs de \(f(x)\) lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\).


Si elle existe, une telle limite est unique. On note alors \[\lim_{x \to a} f(x) = \ell\]

Remarque :

Certaines fonctions admettent une limite finie différente selon que l'on se rapproche de \(a\) par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. Nous aurons l'occasion de le voir simplement dans le chapitre suivant.

Définition 7 :

Soit a ∈ D ou sur un bord de D.

• On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a si, pour tout réel A, il existe un réel δ > 0 tel que, si x ∈]a - δ; a + δ[∩D, alors f(x) ⩾ A. On note alors lim f(x) = +∞

• On dit que f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers a si, pour tout réel A, il existe un réel δ > 0 tel que, si x ∈]a - δ; a + δ[∩D, alors f(x) ⩽ A. On note alors lim f(x) = -∞

Exemple 6 : On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f.

Pour n'importe quelle valeur du réel A, on peut trouver un intervalle centré sur a tel que toute valeur de f(x) est supérieure à A à partir de cette valeur proche de ce réel A : on a lim f(x) = +∞

Remarque :

Tout comme précédemment, le comportement de la fonction f peut varier selon si l'on s'approche du réel a par valeurs inférieures ou supérieures. Il nous faut donc distinguer ces deux cas.

Définition 8 :

Soit a ∈ D ou sur un bord de D.

• On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a par valeurs inférieures si, pour tout réel A, il existe un réel δ > 0 tel que, si x ∈]a - δ; a[∩D, alors f(x) ⩾ A. Autrement dit, l'intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) lorsque x est suffisamment proche de a tout en lui étant inférieur. On note alors lim f(x) = +∞

• On dit que f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers a par valeurs supérieures si, pour tout réel A, il existe un réel δ > 0 tel que, si x ∈]a; a + δ[∩D, alors f(x) ⩽ A. Autrement dit, l'intervalle ]-∞; A[ contient toutes les valeurs de f(x) lorsque x est suffisamment proche de a tout en lui étant supérieur. On note alors lim f(x) = -∞

Remarque :

Là encore, ces définitions peuvent s'étendre pour une limite valant -∞.

Exemple 7 : On considère la fonction f : x ↦ 1/(x-1), définie sur ℝ\{1}, dont on a tracé ci-dessous la courbe dans un repère.

Il semblerait que, lorsque l'on s'approche de 1 par valeurs supérieures, la limite soit +∞, ce que l'on notera lim f(x) = +∞


En revanche, lorsque l'on s'approche de 1 par valeurs inférieures, la limite semble être -∞, ce que l'on note lim f(x) = -∞

Définition 9 :

Lorsque la limite d'une fonction f est infinie en un point a, on dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exemple 8 : Dans l'exemple précédent, la droite d'équation x = 1 est asymptote à la courbe de f.

Introduction :

Les opérations sur les limites sont similaires à celles connues sur les suites. Dans cette partie, f et g sont deux fonctions définies au voisinage de a, a pouvant être un réel, +∞ ou -∞, et l et l' sont deux réels.

Propriété 2 — Limite de la somme : On a :

lim f(x)	l	l	l	+∞	-∞	+∞
lim g(x)	l'	+∞	-∞	-∞	+∞	+∞
lim[f(x) + g(x)]	l + l'	+∞	-∞	F.I.	F.I.	+∞

F.I. = Forme indéterminée

Exemple 9 : On considère la fonction f définie pour tout réel x non nul par f(x) = x² - x + 1/x

D'une part, lim x² = +∞, lim(-x) = +∞ et lim 1/x = 0. Ainsi, par somme, lim f(x) = +∞


Toutefois, si l'on étudie la limite en +∞, nous aboutissons à une forme indéterminée « +∞ - ∞ ». Il est alors possible d'utiliser les techniques de factorisation par le terme de plus haut degré pour se ramener aux fonctions mentionnées dans la propriété.


Ainsi, pour tout réel x ≠ 0, f(x) = x²(1 - 1/x + 1/x³) = x²(1 - 1/x + 1/x³). Ainsi, par produits, lim f(x) = +∞

Propriété 3 — Limite du produit :

lim f(x)	l	l ≠ 0	∞	0	∞
lim g(x)	l'	∞	∞ (r.s.)	∞ (r.s.)	∞ (r.s.)
lim[f(x) × g(x)]	l × l'	∞ (r.s.)	∞ (r.s.)	F.I.	F.I.

r.s. : Règle des signes

Exemple 9 : On considère la fonction f définie pour tout réel x non nul par f(x) = x² - x + 1/x

D'une part, lim x² = +∞, lim(-x) = +∞ et lim 1/x = 0. Ainsi, par somme, lim f(x) = +∞


Toutefois, si l'on étudie la limite en +∞, nous aboutissons à une forme indéterminée « +∞ - ∞ ». Il est alors possible d'utiliser les techniques de factorisation par le terme de plus haut degré pour se ramener aux fonctions mentionnées dans la propriété.


Ainsi, pour tout réel x ≠ 0, f(x) = x²(1 - 1/x + 1/x³) = x²(1 - 1/x + 1/x³). Ainsi, par produits, lim f(x) = +∞

Propriété 4 — Limite du quotient : Dans cette partie, on suppose que g ≠ 0.

lim f(x)	l	l ≠ 0	0	l	∞	∞	∞
lim g(x)	l' ≠ 0	0⁺ ou 0⁻	0⁺ ou 0⁻	∞	l'	∞	∞
lim[f(x)/g(x)]	l/l'	0	∞ (r.s.)	∞ (r.s.)	0	F.I.	F.I.

r.s. : Règle des signes

Exemple 10 : Pour tout réel x, on pose f(x) = (1-2x⁴)/(x+1). L'étude des limites en +∞ et en -∞ de f aboutit à une forme indéterminée. Or, pour tout réel x non nul :

f(x) = x⁴(1/x⁴-2)/(x(1/x+1)) = x³ · (1/x⁴-2)/(1/x+1)


Or, lim x³ = +∞, lim (1/x-2) = -2 ≠ 0 et lim (1/x+1) = 1. Ainsi, en appliquant les règles de calcul sur les produits et quotients de limites, on aboutit à lim f(x) = -∞

Exemple 11 : On considère la fonction f définie pour tout réel x ≠ 2 par f(x) = (3x+1)/(2x-4)

Pour tout réel x ≠ 2 et x ≠ 0, on a alors f(x) = x(3+1/x)/(x(2-4/x)) = (3+1/x)/(2-4/x)


Or, lim (3+1/x) = 3 et lim (2-4/x) = 2. Ainsi, lim f(x) = 3/2


Ainsi, lim f(x) = 3/2. De la même manière, on montre que lim f(x) = 3/2

Exemple 12 : On considère la fonction f : x ↦ √x + 1/(1-x), définie sur [0;1[∪]1;+∞[.

Pour calculer la limite en 1⁻ :

• lim √x = √1 = 1

• lim (1-x) = 1-1 = 0. Par ailleurs, si x ∈ [, alors 1-x > 0 et donc lim (1-x) = 0⁺

Ainsi, par quotient de limites, lim 1/(1-x) = +∞

• Par somme de limites, lim f(x) = +∞


Pour calculer la limite en 1⁺ :

• lim √x = 1

• lim (1-x) = 0. Par ailleurs, si x ∈ ]1;+∞[, alors 1-x < 0 et donc lim (1-x) = 0⁻

Ainsi, par quotient de limites, lim 1/(1-x) = -∞

• Par somme de limites, lim f(x) = -∞


Pour calculer la limite en +∞ :

• lim √x = +∞

• lim (1-x) = -∞, ainsi, par quotient de limites, lim 1/(1-x) = 0

• Par somme de limites, lim f(x) = +∞


Représenter la courbe de la fonction f dans un graphique (par exemple, dans un logiciel de géométrie ou sur une calculatrice) permet de confirmer ou d'infirmer les calculs.

Théorème 1 — Théorème de comparaison :

Soit a un réel ou ±∞. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I dont a est un élément ou un bord.

• Si, pour tout x ∈ I, f(x) ⩾ g(x) et lim g(x) = +∞, alors lim f(x) = +∞

• Si, pour tout x ∈ I, f(x) ⩽ g(x) et lim g(x) = -∞, alors lim f(x) = -∞

Exemple 14 : Pour tout réel x, on pose f(x) = (2 + cos(x))eˣ

Pour tout réel x, cos(x) ⩾ -1, ce qui implique que 2 + cos(x) ⩾ 1 et d'où f(x) ⩾ eˣ. Or, lim eˣ = +∞


Ainsi, par comparaison, lim f(x) = +∞

Exemple 15 : On souhaite montrer que, justement, lim eˣ = +∞

Pour tout réel x, on pose f(x) = eˣ - x. f' est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x, f'(x) = eˣ - 1. Ainsi, f'(x) ⩾ 0 ⇔ eˣ ⩾ 1, et donc que eˣ ⩾ 1 + x. Or, lim (1 + x) = +∞. D'après le théorème de comparaison, on a donc que lim eˣ = +∞

Théorème 2 — Théorème d'encadrement :

Soit a un réel. Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I dont a est un élément ou un bord.


Si, pour tout x ∈ I, f(x) ⩽ g(x) ⩽ h(x) et si f et h admettent une même limite finie l en a, alors g admet également une limite finie en a et lim g(x) = l

Exemple 16 : Pour tout réel non nul x, on pose f(x) = cos(x)/x. On a alors, pour tout x > 0, -1/x ⩽ f(x) ⩽ 1/x

Or, lim (-1/x) = lim (1/x) = 0


Ainsi, d'après le théorème d'encadrement, lim f(x) = 0

Exemple 17 : Pour tout réel non nul x, on pose g(x) = x sin(1/x)

Pour tout réel x > 0, -1 ⩽ sin(1/x) ⩽ 1 et donc -x ⩽ g(x) ⩽ x. Or, lim (-x) = lim x = 0


Ainsi, d'après le théorème d'encadrement, lim g(x) = 0

Propriété 6 — Croissances comparées — fonction exponentielle :

Soit n un entier naturel.

lim xⁿ/eˣ = 0        lim xⁿeˣ = 0

Exemple 18 : Pour tout réel x, on pose f(x) = e^(-x)/x³. On a alors f(x) = e^(-x) · 1/x³

Or, puisque lim e^(-x) = +∞, on a alors lim e^(-x)/x³ = +∞. Ainsi, lim f(x) = 1

Remarque :

Cette proposition peut être vue comme la limite de nouvelles fonctions, les fonctions x ↦ eˣ/xⁿ et x ↦ eˣ. Il est alors possible d'utiliser ces résultats directement, en particulier ceux sur la composition. Par exemple, si l'on considère une fonction u telle que lim u(x) = +∞, alors on aura lim e^u(x)/(u(x))^n = +∞

Remarque :

Il est important de bien avoir la même expression dans l'exponentielle et au dénominateur !

Exemple 19 : On considère la fonction f : x ↦ e^(-2x+4)/(3x), définie sur ℝ. On souhaite déterminer lim f(x)

Pour cela, il est naturel de faire intervenir une croissance comparée. Seulement, les expressions dans l'exponentielle et au dénominateur sont différentes, il faut donc transformer légèrement cette écriture pour se ramener aux fonctions mentionnées dans la propriété.

Solution :

Pour tout réel non nul x :


e^(-2x+4)/(3x) = e^(-2x) · e^4/(3x) = e^4/3 · e^(-2x)/x = e^4/3 · (e^(-2x))/(x)


Or, lim (2x) = +∞, et par croissances comparées, lim 2x/e^(2x) = +∞


Ainsi, par composition, lim e^(-2x)/(2x) = +∞. Enfin, par produit, lim = -∞

Définition 10 :

Soit a un réel et f une fonction définie sur ]a; +∞[. Soit m et p des réels.

On dit que la droite d'équation y = mx + p est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ si :

lim [f(x) - (mx + p)] = 0

Exemple 20 : On considère la fonction f : x ↦ (x² + 3x - 3)/(2x - 2), définie sur ℝ\{1}. Pour tout x ≠ 1,

f(x) = (x² + 3x - 3)/(2x - 2) = (1/2 x + 2)(2x - 2) - (x² + 3x - 3 - 2² - 4x + 4)/(2x - 2) = (1/2 x + 2) + 1/(2x - 2)


Ainsi, lim [f(x) - (1/2 x + 2)] = 0 et lim [f(x) - (1/2 x + 2)] = 0


La droite d'équation y = 1/2 x + 2 est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ et en -∞.


Il est également possible, en étudiant le signe de f(x) - (1/2 x + 2), de déterminer la position relative de la courbe de f par rapport à son asymptote. Ainsi,


f(x) - (1/2 x + 2) < 0 ⇔ 1/(2x - 2) < 0 ⇔ 2x - 2 < 0 ⇔ x < 1


La courbe de f est en-dessous de son asymptote en -∞ et est au-dessus en +∞.

Propriété 5 :

Soit a, b et c des réels ou ±∞. Soit f et g des fonctions définies sur ℝ. On suppose que lim f(x) = a et lim g(x) = c. Alors lim g ∘ f(x) = c

Exemple 13 : On considère la fonction f : x ↦ e^(-2x²-3x-5)

On sait que lim (-2x² - 3x - 5) = -∞, et par ailleurs, lim e^t = 0


Ainsi, par composition de limites, lim e^(-2x²-3x-5) = 0

Points essentiels à retenir :

• Les limites à l'infini : finies (asymptotes horizontales) ou infinies

• Les limites en un point : finies (continuité) ou infinies (asymptotes verticales)

• Les opérations sur les limites : somme, produit, quotient (attention aux F.I.)

• Les théorèmes de comparaison : encadrement et comparaison

• Les croissances comparées : exponentielle l'emporte sur polynomial

• Les asymptotes obliques : y = mx + p avec conditions sur les limites

• La composition de fonctions : limite de f∘g en fonction des limites de f et g