Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (généralement notée y).

Elle peut faire intervenir la fonction elle-même, ses dérivées (première dérivée y', deuxième dérivée y'', etc.), et la variable x de la fonction.

Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer l'ensemble des fonctions y dérivables sur ℝ (ou sur le plus grand domaine de définition possible) qui vérifient l'équation.

Trouver intuitivement au moins une fonction solution de chacune des équations différentielles suivantes :

1. \(y' = 2x\)
   
2. \(y' = 1 + e^x\)
   
3. \(y' = y\)
   
4. \(y'' = 3x\)

Les notations y et y' sont des abus de langage et de notation dans ce contexte, qui assimilent y à \(y(x)\) et y' à \(y'(x)\).

Strictement parlant, l'équation différentielle \(y' = 2y\) devrait s'écrire : l'équation (E) d'inconnue y telle que pour tout réel x (en supposant ℝ l'intervalle de travail), \(y'(x) = 2y(x)\).

Soit l'équation différentielle (E) : \(y' = 2y\).

1) Justifier que les fonctions g et h, définies et dérivables sur ℝ par \(g(x) = e^{2x}\) et \(h(x) = e^{2x+5}\), sont solutions de l'équation différentielle (E) : \(y' = 2y\).

2) Proposer une autre fonction solution de l'équation différentielle (E).

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.

On appelle primitive de f sur I toute fonction solution de l'équation différentielle \(y' = f\).

Autrement dit, une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, telle que pour tout réel x de I, \(F'(x) = f(x)\).

1) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur ℝ par \(g(x) = 3x^2 + 5x - 6\).

2) Démontrer que la fonction F définie sur ℝ par \(F(x) = (2x+3)e^{1-3x}\) est une primitive de la fonction f définie sur ℝ par \(f(x) = (-6x-7)e^{1-3x}\).

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit F une primitive de f sur I.

• f admet une infinité de primitives sur I.

• Toutes les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme \(x \to F(x) + k\), avec k un réel. Autrement dit, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

f est continue sur I donc elle admet des primitives. Posons \(F_1\) et \(F_2\) deux de ses primitives.

Soit alors G la fonction définie et dérivable sur I tel que pour tout réel x de I, \(G(x) = F_2(x) - F_1(x)\).

Ainsi, pour tout x de I, \(G'(x) = F_2'(x) - F_1'(x) = f(x) - f(x) = 0\).

Donc G est constante sur I, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que pour tout x de I, \(G(x) = k\), soit \(F_2(x) - F_1(x) = k\), d'où \(F_2(x) = F_1(x) + k\).

k décrivant ℝ, f admet bien une infinité de primitives sur I, et ces primitives ne diffèrent que de cette constante k.

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.

Soient \(x_0\) un réel de I et \(y_0\) un réel quelconque.

L'équation différentielle (E) : \(y' = f\) admet une unique solution F sur I telle que \(F(x_0) = y_0\).

Autrement dit, il existe une unique primitive F de f sur I telle que \(F(x_0) = y_0\).

Soit G une primitive de f sur I.

D'après le théorème précédent, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions définies sur I par \(x \to G(x) + k\), avec k un réel.

On cherche alors k tel que \(G(x_0) + k = y_0\), ce qui équivaut à \(k = y_0 - G(x_0)\).

Or k étant un réel, il suffit de fixer la valeur de k à \(y_0 - G(x_0)\) pour obtenir l'unique primitive F de f sur I vérifiant \(F(x_0) = y_0\).

Soit (E) l'équation différentielle \(y' = e^{3x}\).

1) Résoudre l'équation différentielle (E).

2) Déterminer la solution g de l'équation différentielle (E) vérifiant \(g(0) = -1\).

Il est possible à la calculatrice de résoudre une équation différentielle avec ou sans condition :

• deSolve(y'=exp(3x),x,y) (pour résoudre sans condition)

• ou

• deSolve(y'=exp(3x) and y(0)=-1,x,y) (pour résoudre avec une condition initiale)

Soit a un réel. L'équation différentielle \(y' = ay\) (ou \(y' - ay = 0\)) est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

On parle aussi d'équation différentielle sans second membre plutôt que d'équation différentielle homogène.

Les équations différentielles \(y' = 5y\) et \(3y' + 6y = 0\) sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants.

Soit a un réel.

Les solutions de l'équation différentielle \(y' = ay\) sont les fonctions \(f_k\) définies sur ℝ par \(f_k(x) = ke^{ax}\), où k est une constante réelle.

Soit k un réel, et soit alors \(f_k\) la fonction définie sur ℝ par \(f_k(x) = ke^{ax}\).

La fonction \(f_k\) est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, \(f_k'(x) = ake^{ax}\), donc \(f_k'(x) = af_k(x)\).

Donc \(f_k\) est bien une solution de l'équation différentielle (E) : \(y' = ay\).

Réciproquement, soit f une solution de (E), et montrons que f est de la forme \(x \mapsto ke^{ax}\).

Posons g la fonction définie sur ℝ par \(g(x) = f(x)e^{-ax}\).

g est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, \(g'(x) = f'(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = af(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax}\) (car f est solution de \(y' = ay\)) \(= 0\).

Donc g est une fonction constante, donc il existe un réel k tel que pour tout réel x, \(g(x) = k\), soit \(f(x)e^{-ax} = k\), d'où \(f(x) = ke^{ax}\).

1. Résoudre l'équation différentielle \(y' = 5y\).
   
2. a) Résoudre l'équation différentielle (E) : \(4y' + 8y = 0\).
   

b) Déterminer l'unique solution f de (E) telle que \(f(0) = 2\).

Soit a un réel non nul et b un réel quelconque. L'équation différentielle \(y' = ay + b\) (ou \(y' - ay = b\)) est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants (avec second membre).

Ici, le terme « homogène » (ou « sans second membre ») a disparu car l'équation est du type \(y' - ay = b\), et le second membre est donc le réel b.

Les équations différentielles \(y' = -3y + 2\) et \(5y' + 7y = 1\) sont des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants.

Soient a et b deux réels tels que a ≠ 0.

Les solutions de l'équation différentielle \(y' = ay + b\) sont les fonctions \(f_k\) définies sur ℝ par \(f_k(x) = g_h(x) + g(x)\), où \(g_h\) est solution de l'équation \(y' = ay\) et g est la solution particulière constante de (E).

Soient a et b deux réels tels que a ≠ 0.

Les solutions de l'équation différentielle \(y' = ay + b\) sont les fonctions \(f_k\) définies sur ℝ par \(f_k(x) = k \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}\), où k est une constante réelle.

Soit g une fonction constante définie sur ℝ.

g est solution de \(y' = ay + b\) ⇔ ∀x ∈ ℝ, \(g'(x) = ag(x) + b\)

⇔ ∀x ∈ ℝ, \(0 = ag(x) + b\) (car g est constante, \(g'(x) = 0\))

⇔ ∀x ∈ ℝ, \(g(x) = -\frac{b}{a}\) (car \(a \neq 0\)).

Donc l'équation y' = ay + b admet bien une unique solution constante g (qui vérifie donc g' = ag + b).

Soit alors f_k une fonction définie sur ℝ solution de y' = ay + b. Alors :

\(f_k\) est solution de \(y' = ay + b\) ⇔ \(f_k' = af_k + b\).

⇔ \(f_k' - g' = af_k + b - g'\)

⇔ \(f_k' - g' = af_k + b - ag - b\) (car \(g' = ag + b\))

⇔ \((f_k - g)' = a(f_k - g)\).

⇔ \(f_k - g\) est solution de \(y' = ay\)

⇔ il existe k ∈ ℝ tel que ∀x ∈ ℝ, \((f_k - g)(x) = k \cdot e^{ax}\)

⇔ il existe k ∈ ℝ tel que ∀x ∈ ℝ, \(f_k(x) - g(x) = k \cdot e^{ax}\)

⇔ il existe k ∈ ℝ tel que ∀x ∈ ℝ, \(f_k(x) = k \cdot e^{ax} + g(x)\).

Résoudre l'équation différentielle (E) : y' = 3y + 2.

Soit f la fonction constante solution de l'équation (E) : y' = 3y + 2.

f est solution de (E) ⇔ ∀x ∈ ℝ, f'(x) = 3f(x) + 2

⇔ ∀x ∈ ℝ, 0 = 3f(x) + 2

⇔ ∀x ∈ ℝ, f(x) = -2/3

Soit (E') : y' = 3y l'équation homogène associée à (E).

Par théorème du cours, les solutions de (E') sont les fonctions g_k définies sur ℝ par g_k(x) = k·e^(3x), avec k ∈ ℝ.

Ainsi, par théorème du cours, les solutions de (E) sont les fonctions f_k définies sur ℝ par f_k(x) = g_k(x) + f(x) = k·e^(3x) - 2/3, k ∈ ℝ.

Soit l'équation différentielle (E) : \(5y' + 3y = -1\).

1) Résoudre l'équation différentielle (E). On notera \(f_k\) les solutions de (E).

2) Étude des fonctions solutions \(f_k\) :

a) Tracer à la calculatrice les courbes de quelques solutions \(f_k\) de (E).

b) Conjecturer graphiquement et en fonction de k les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) des fonctions \(f_k\), ainsi que leurs sens de variations.

c) Démontrer ces conjectures.

Soit a un réel non nul et soit f une fonction continue sur un intervalle I.

L'équation différentielle \(y' = ay + f\) (ou \(y' - ay = f\)) est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Ici, le second membre n'est pas nécessairement un réel (contrairement aux équations du type \(y' - ay = b\) vu précédemment) mais une fonction.

Les équations différentielles \(y' = -3y + 2x\) et \(5y' + 7y = e^x\) sont des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Soit a un réel non nul et soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Les solutions de l'équation différentielle \(y' - ay = f\) sont les fonctions \(f_k\) définies sur ℝ par \(f_k(x) = g_k(x) + \phi(x)\), où \(g_k\) est solution de l'équation \(y' = ay\) et \(\phi\) est une solution particulière de (E).

Soit (E) l'équation différentielle \(y' - 2y = e^x\).

1) Montrer que la fonction \(\phi\) définie sur ℝ par \(\phi(x) = -e^x\) est une solution de (E).

2) Résoudre l'équation différentielle (E') : \(y' - 2y = 0\).

3) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

Soit (E) l'équation différentielle \(2y' + 3y = 6x + 1\).

1) On admet que (E) admet une solution particulière \(\phi\), fonction affine définie sur ℝ par \(\phi(x) = mx + p\), avec m et p des réels. Déterminer m et p.

2) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :

1. \(f : x \mapsto x^4 - 3x^3 - 5x^2 + \frac{7}{3}x - 2\) sur \(\mathbb{R}\)
   
2. \(f : x \mapsto 2x - 4 + \frac{3}{x^2}\) sur \(]0; +\infty[\)
   
3. \(f : x \mapsto x^2(x^3 - 1)^5\) sur \(\mathbb{R}\)
   
4. \(f : x \mapsto \frac{x}{x^2 - 4}\) sur \(]2; +\infty[\)
   
5. \(f : x \mapsto \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\) sur \(]0; +\infty[\)

Peut-on trouver facilement une primitive de \(x \mapsto e^{-x^2}\) ?

• Équation différentielle \(y' = f\) : Solutions = primitives de f

• Équation différentielle \(y' = ay\) : Solutions = \(ke^{ax}\), \(k \in \mathbb{R}\)

• Équation différentielle \(y' = ay + b\) : Solutions = \(ke^{ax} - \frac{b}{a}\), \(k \in \mathbb{R}\)

• Équation différentielle \(y' = ay + f\) : Solutions = \(ke^{ax} + \phi\), où \(\phi\) est une solution particulière

• Méthode générale : Solution générale = Solution homogène + Solution particulière

• Conditions initiales : Permettent de déterminer la constante k

• Tableaux de primitives : Essentiels pour résoudre les équations différentielles

1. Résoudre \(y' = 2x + 1\)
   
2. Résoudre \(y' = -3y\) avec \(y(0) = 5\)
   
3. Résoudre \(y' = 2y + 4\)
   
4. Résoudre \(y' = -y + e^x\)
   
5. Déterminer la solution de \(y' = 3y - 6\) telle que \(y(0) = 1\)
   
6. Résoudre \(2y' + y = x + 1\)