Pour tout réel \(t \in \mathbb{R}\), les valeurs de \(\cos t\) et \(\sin t\) sont toujours comprises entre -1 et 1. Autrement dit :

\( -1 \le \cos t \le 1 \)

\( -1 \le \sin t \le 1 \)

• La fonction qui à tout réel \(x\) fait correspondre l'abscisse \(\cos x\) du point \(M\) est appelée la fonction cosinus et est notée \(\cos\).
• La fonction qui à tout réel \(x\) fait correspondre l'ordonnée \(\sin x\) du point \(M\) est appelée la fonction sinus et est notée \(\sin\).

• Pour tout réel \(x\), \(\cos(-x) = \cos x\) : on dit que la fonction cosinus est paire sur \(\mathbb{R}\).
• Pour tout réel \(x\), \(\sin(-x) = -\sin x\) : on dit que la fonction sinus est impaire sur \(\mathbb{R}\).

Pour tout réel \(x\), on a :

\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)

\( \sin(x + 2\pi) = \sin x \)

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\) (ou « \(2\pi\)-périodiques »). Cela signifie que leurs courbes représentatives se répètent tous les \(2\pi\) sur l'axe des abscisses.

Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) et :

• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\sin' x = \cos x\)

• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\cos' x = -\sin x\)

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\). Alors les fonctions \(\cos u\) et \(\sin u\) sont dérivables sur \(I\) et :

• \((\cos u)' = -u' \sin u\)

• \((\sin u)' = u' \cos u\)

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :

• \(f(x) = \sin(x^2+1)\)

• \(g(x) = \frac{\cos(1+e^x)}{e^x}\)


Déterminer pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) et \(g'(x)\).

• Pour \(f(x) = \sin(x^2+1)\) :

On pose \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\)

\(f'(x) = u'(x) \cos u(x) = 2x \cos(x^2+1)\)


• Pour \(g(x) = \frac{\cos(1+e^x)}{e^x}\) :

On pose \(u(x) = 1+e^x\), donc \(u'(x) = e^x\)

\(g'(x) = \frac{-u'(x) \sin u(x) \cdot e^x - \cos u(x) \cdot e^x}{(e^x)^2}\)

\(g'(x) = \frac{-e^x \sin(1+e^x) - \cos(1+e^x)}{e^x}\)

\(g'(x) = -\sin(1+e^x) - \frac{\cos(1+e^x)}{e^x}\)

Les fonctions sinus et cosinus n'admettent pas de limites en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).

En revanche, une fonction « contenant » un sinus ou un cosinus peut admettre une limite en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).

• \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \cos(x)) = +\infty\)

• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0\)

Soient \(a\) et \(x\) deux nombres réels.

• \(\cos(x) = \cos(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

• \(\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

• Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)

• Résoudre dans \(]-\pi; \pi]\), puis dans \([0; 3\pi]\), l'équation : \(\sqrt{2}\sin(x) + 3 = 2\)

\(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)

On sait que \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\)

Donc \(\cos(x) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

D'où \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

\(\sqrt{2}\sin(x) + 3 = 2\)

\(\sqrt{2}\sin(x) = -1\)

\(\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Donc \(\sin(x) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)

D'où \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)


Dans \(]-\pi; \pi]\) : \(x = -\frac{\pi}{4}\)

Dans \([0; 3\pi]\) : \(x = \frac{5\pi}{4}\) et \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}\)

Résoudre dans \(]-\pi; \pi]\) puis dans \([0; 2\pi]\) l'inéquation : \(\cos(x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

L'inéquation \(\cos(x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}\) devient \(\cos(x) \leq \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\)


En utilisant les variations de la fonction cosinus sur \([-\pi; \pi]\) :

• Sur \(\left[-\pi; -\frac{\pi}{6}\right]\) : \(\cos(x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Sur \(\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]\) : \(\cos(x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}\)


Donc dans \(]-\pi; \pi]\) : \(x \in \left]-\pi; -\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]\)


Dans \([0; 2\pi]\) : \(x \in \left[\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]\)

• Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur \(\mathbb{R}\) et périodiques de période \(2\pi\)

• La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire

• Leurs dérivées sont : \(\sin' x = \cos x\) et \(\cos' x = -\sin x\)

• Elles n'admettent pas de limites en \(\pm\infty\)

• Les équations trigonométriques se résolvent en utilisant les propriétés de périodicité

• Pour étudier les variations : utiliser les dérivées

• Pour résoudre \(\cos(x) = \cos(a)\) : \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\)

• Pour résoudre \(\sin(x) = \sin(a)\) : \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\)

• Pour les inéquations : utiliser les variations et la périodicité