Définition :

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

On appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) dont la dérivée \(F'\) est égale à \(f\).

Exemple :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 5x + 2\).

Les fonctions \(F\) et \(G\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

• \(F(x) = \frac{5}{2}x^2 + 2x - 7\)

• \(G(x) = \frac{5}{2}x^2 + 2x + 8\)

sont des primitives de \(f\).

Propriété :

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On suppose qu'il existe une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\).

L'ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est l'ensemble des fonctions \(G\) définies sur \(I\) par \(G(x) = F(x) + k\) où \(k\) décrit \(\mathbb{R}\).

Preuve :

Soit \(G\) une primitive de \(f\) sur \(I\). On a donc \(G' = F' = f\).


Donc pour tout \(x \in I\), on a \((G-F)'(x) = 0\).


Donc la fonction \(G - F\) est constante sur l'intervalle \(I\), il existe donc un réel \(k\) tel que pour tout \(x \in I\), on a \((G-F)(x) = k\) d'où \(G(x) = F(x) + k\) pour tout \(x \in I\).


Réciproquement soit \(G\) la fonction définie sur \(I\) par \(G(x) = F(x) + k\) où \(k \in \mathbb{R}\).

On a \(G'(x) = F'(x) + 0\) donc \(G'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\) donc \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).

Remarques :

• Si la fonction \(f\) admet une primitive sur un intervalle \(I\) alors elle en admet une infinité.

• Soit \(G\) et \(F\) deux primitives de \(f\) sur \(I\) tels que \(G(x) = F(x) + k\), alors dans un repère orthogonal \((O; \vec{i}, \vec{j})\) la courbe représentative de \(G\) est obtenue à partir de la courbe représentative de \(F\) par translation de vecteur \(k\vec{j}\).

Propriété :

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On suppose que \(f\) admet des primitives sur \(I\). Soit \(x_0\) et \(y_0\) deux réels tels que \(x_0 \in I\).

Il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) vérifiant \(F(x_0) = y_0\).

Preuve :
Existence :

La fonction \(f\) admet des primitives, soit \(G\) une primitive de \(f\).

On considère la fonction \(F\) définie par \(F(x) = G(x) - G(x_0) + y_0\).

\(F\) est aussi une primitive de \(f\) car \(F'(x) = G'(x) = f(x)\).

De plus on a \(F(x_0) = G(x_0) - G(x_0) + y_0 = y_0\).

Donc \(F\) existe.

Unicité :

Soit \(H\) une autre primitive de \(f\) vérifiant \(H(x_0) = y_0\).

On sait qu'il existe un réel \(k\) tel que \(H(x) = F(x) + k\) pour tout \(x \in I\).

Donc en particulier on a \(H(x_0) = F(x_0) + k\) d'où \(y_0 = y_0 + k\) donc \(k = 0\) donc \(H = F\).

La fonction \(F\) est donc bien unique.

Exemple :

Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x + 3\).

Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(3) = -5\).

Réponse :

On vérifie facilement que les primitives de \(f\) sont \(F(x) = x^2 + 3x + k\), \(k \in \mathbb{R}\).

Si on veut \(F(3) = -5\) alors \(3^2 + 3 \times 3 + k = -5\) d'où \(k = -23\).

La primitive cherchée est donc \(F(x) = x^2 + 3x - 23\).

Soit \(C\) un réel quelconque.

Propriétés de linéarité :

Soit \(F\) et \(G\) des primitives respectives des fonctions \(f\) et \(g\) sur un intervalle \(I\) alors :

• \(F + G\) est une primitive de la fonction \(f + g\) sur \(I\)

• Pour tout réel \(k\), \(kF\) est une primitive de la fonction \(kf\) sur \(I\).

Exemples :

• Les primitives de \(f(x) = 3x^2\) sont \(F(x) = \frac{3x^3}{3} + k = x^3 + k\), \(k \in \mathbb{R}\)

• Les primitives de \(f(x) = -\frac{3}{x^2} + \frac{5}{x} - 2x\) sont sur \(]0; +\infty[\) : \(F(x) = \frac{3}{x} + 5\ln(x) - x^2 + k\), \(k \in \mathbb{R}\)

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\).

Pour chaque fonction \(f\), déterminer ses primitives et en déduire une primitive sur l'intervalle \(I\) :

a) \(f(x) = x^2(x^3 - 1)^5\) ; \(I = \mathbb{R}\)

b) \(f(x) = \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 1}}\) ; \(I = ]1; +\infty[\)

c) \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}\) ; \(I = ]2; +\infty[\)

d) \(f(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot e^{1/x}\) ; \(I = ]0; +\infty[\)

Réponses :

a) En utilisant la formule \(u'u^n\) avec \(u(x) = x^3 - 1\) on obtient : \(F(x) = \frac{1}{18}(x^3 - 1)^6 + C\)

b) En utilisant la formule \(\frac{u'}{\sqrt{u}}\) avec \(u(x) = x^2 - 1\) on obtient : \(F(x) = 3\sqrt{x^2 - 1} + C\)

c) En utilisant la formule \(\frac{u'}{u}\) avec \(u(x) = x^2 - 4\) on obtient : \(F(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 4) + C\)

d) En utilisant la formule \(u'e^u\) avec \(u(x) = \frac{1}{x}\) on obtient : \(F(x) = e^{1/x} + C\)

Théorème :

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) et si \(a\) est un réel de l'intervalle \(I\) alors la fonction \(F\) définie sur \(I\) par \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\) est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) s'annulant en \(a\).

Preuve :
Cas où \(f\) est une fonction continue et croissante sur \(I\).

Soit \(x_0\) un réel de \(I\) et soit \(h\) tel que \(x_0 + h\) appartienne à \(I\).


On a \(F(x_0 + h) - F(x_0) = \int_a^{x_0+h} f(t)dt - \int_a^{x_0} f(t)dt\)

\(F(x_0 + h) - F(x_0) = \int_a^{x_0+h} f(t)dt + \int^{x_0}_a f(t)dt\)

D'après la relation de Chasles on a \(F(x_0 + h) - F(x_0) = \int^{x_0+h}_{x_0} f(t)dt\)

Cas 1 : Si \(h > 0\), la fonction \(f\) étant croissante, pour tout \(x \in [x_0; x_0 + h]\), on a :

\(f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_0 + h)\)

D'après l'inégalité de la moyenne, on a :

\(f(x_0) \leq \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h)\)

Cas 2 : Si \(h < 0\), la fonction \(f\) étant croissante, pour tout \(x \in [x_0 + h; x_0]\), on a :

\(f(x_0 + h) \leq f(x) \leq f(x_0)\)

D'après l'inégalité de la moyenne, on a :

\(f(x_0 + h) \leq \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0)\)


La fonction \(f\) est continue en \(x_0\) donc \(\lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)\).

Donc d'après le théorème des gendarmes, on a : \(\lim_{h \to 0} \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} = f(x_0)\).

Donc la fonction \(F\) est dérivable en \(x_0\) et \(F'(x_0) = f(x_0)\).

Donc \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).


On a \(F(a) = \int_a^a f(x)dx = 0\). \(F\) est donc l'unique primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).

On peut faire une démonstration équivalente lorsque \(f\) est continue et décroissante sur \(I\).

Exemple 1 :

Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = \int_0^x \frac{1}{t^2 + 1} dt\). Déterminer le sens de variation de \(F\) sur \(\mathbb{R}\).

Réponse :

D'après ce qui précède \(F\) est l'unique primitive de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) qui s'annule en \(x = 0\).

Donc \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) et \(F'(0) = 0\) donc \(F'(x) \geq 0\) sur \(\mathbb{R}\) et de ce fait \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exemple 2 :

Soit \(F\) la fonction définie sur \([1; +\infty[\) par \(F(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt\). Déterminer le sens de variation de \(F\) sur \([1; +\infty[\).

Réponse :

\(F\) est l'unique primitive de \(f(x) = \frac{1}{x}\) qui s'annule en \(x = 1\).

Donc \(F'(x) = \frac{1}{x}\) et \(F'(1) = 0\) donc \(F'(x) \geq 0\) sur \([1; +\infty[\) et de ce fait \(F\) est strictement croissante sur \([1; +\infty[\).

Remarque : \(F(x) = \ln(x)\)

Propriété :

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\), \(a\) et \(b\) sont deux réels de \(I\). Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\).

On a \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)

Notation :

On écrit aussi \(\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b\)

Preuve :

Soient \(F\) la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\), on a \(\int_a^x f(t)dt = F(x)\).

Or \(F(a) = 0\) donc \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\).


Si \(G\) est une autre primitive de \(f\) alors il existe un réel \(k\) tel que :

\(G(x) = F(x) + k\) pour tout \(x \in I\).

Donc \(G(b) - G(a) = (F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) - F(a)\).

Donc on a aussi \(\int_a^b f(x)dx = G(b) - G(a)\).

Exemples :

Exemple 1 : Calculer \(I = \int_1^3 x^3 dx\)
Réponse : \(I = \left[\frac{x^4}{4}\right]_1^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20\)

Exemple 2 : Calculer \(J = \int_1^e \frac{1}{x} \ln(x) dx\)
Réponse : \(J = \left[\frac{1}{2} (\ln(x))^2\right]_1^e = \frac{1}{2} ((\ln(e))^2 - (\ln(1))^2) = \frac{1}{2} (1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}\)

Points essentiels à retenir :

• Définition : Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifie \(F' = f\)

• Ensemble des primitives : Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives sont de la forme \(F(x) + k\)

• Primitive unique : Il existe une unique primitive \(F\) telle que \(F(x_0) = y_0\)

• Tableau des primitives : Connaître les primitives des fonctions usuelles

• Linéarité : \((F + G)' = F' + G'\) et \((kF)' = kF'\)

• Composées : Formules pour \(u'u^n\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^u\), etc.

• Lien avec l'intégrale : \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)

• Théorème fondamental : \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\) est la primitive de \(f\) s'annulant en \(a\)

Exercices pratiques :

1. Déterminer une primitive de \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\)
   
2. Trouver la primitive \(F\) de \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) telle que \(F(1) = 2\)
   
3. Calculer \(\int_0^2 (x^2 + 1) dx\)
   
4. Déterminer une primitive de \(h(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
   
5. Calculer \(\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)
   
6. Trouver la primitive \(G\) de \(k(x) = e^{2x}\) telle que \(G(0) = 1\)